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Capítulo 17
Afinação mesotônica


17.1  História

Usada entre os séculos XVI e XIX, abrangendo assim a Renascença, o Barroco e o Clássico, a afinação mesotônica é sucessora da afinação pitagórica, e é sucedida pela afinação igualmente temperada, no século XIX.

O surgimento do sistema mesotônico na segunda metade do período renascentista -- à época de Palestrina (1525-1594) -- respondia a uma demanda da música polifônica, que procurava estabelecer-se em bases consistentes. Consta que vários autores participaram do processo de desenvolvimento da afinação mesotônica, mas foi somente em 1558 que o teórico e compositor italiano Gioseffo Zarlino o descreveu formalmente [4, 5].

Em meados do período barroco, a afinação mesotônica passou a conviver com outros importantes sistemas de afinação que, em última análise, eram derivações suas. Eram os chamados temperamentos irregulares, ou "temperamentos refinados" (*). No Capítulo 20, há uma breve descrição desses sistemas, que são "irregulares" do ponto de vista do padrão intervalar que se define em cada tonalidade, mas que são considerados "refinados" do ponto de vista do sistema tonal.

(*) Do alemão "wohltemperierte" que se traduz para o português como "bem temperado". Entretanto, em inglês, além da forma normal "well-tempered", há a forma substantivada "well temperament". Como tradução desta forma substantivada para o português, adotou-se aqui a expressão "temperamento refinado".


17.2  Afinação mesotônica de um quarto de coma

O sistema mesotônico traz consigo uma forte herança do sistema pitágorico, especificamente no que se refere a saltos de oitavas e de quintas na definição dos graus da escala. Mas com uma diferença crucial: nele, as terças maiores é que são justas, e não as quintas, que aí são "temperadas". Vale dizer, as quintas são "ligeiramente alteradas". Com isto, diminui-se o conflito entre as terças pitagóricas e as terças justas advindas da séria harmônica de cada nota produzida pelos instrumentos em jogo.

Uma vez que os acordes contendo terças maiores adquiriram o papel de unidades estruturais prioritárias (**), compreendeu-se que -- para se obter um tecido sônico com uma textura aprimorada -- seria preciso que as terças maiores fossem justas (5:4), e não pitagóricas (81:64), de modo a se evitarem as dissonâncias decorrentes de batimentos entre os harmônicos dos diferentes instrumentos (vozes), que projetam inevitavelmente intervalos justos sobre a música em execução. Foi isto o que propuseram os matemáticos renascentistas que estudavam a música polifônica.

(**) Naquilo que passou a ser chamado de harmonia.

Em linhas gerais, o método (algoritmo) consta primeiramente do estreitamento da quinta -- de justa (J) para mesotônica (Q) -- que é levado a cabo pela divisão em quatro partes iguais do intervalo de uma décima sétima (duas oitavas mais uma terça maior justa) a partir do primeiro grau. Em seguida, por meio de saltos de oitavas e de quintas mesotônicas (Q), o algoritmo trata de determinar primeiramente o tom (T), e depois o semitom (S). Por fim, de posse dos intervalos elementares Q, T e S, o método aplica a regra de encadeamento diatônico 1TTS QTTS para construir a escala. Os detalhes encontram-se nos Autômatos 17.1 e 17.2.


17.2.1  A Quinta

A quinta mesotônica (Q) se obtém pelo estreitamento da quinta justa (J = 3:2) de 1/4 de uma coma sintônica K = 81:80, isto é,
Q = 5ª mesotônica = J / K1/4;
Q = (3/2) / (81/80)1/4 ;
Q4 = (34/24)×(80/81) = 5;
Portanto,
Q = 51/4.

Sendo a extensão de um quarto de coma dada por (81/80)1/4, tem-se que,
1/4 coma = (81/80)1/4 = 21,51/4 = 5,37 centésimos,

Desta maneira, a quinta mesotônica será 5,37 centésimos mais grave do que a quinta justa (cuja largura é de 701,96 c).


O estreitamento se faz necessário porque 4 quintas justas, isto é, (3/2)×(3/2)×(3/2)×(3/2) = 81/16 excedem a décima sétima [(2/1)×(2/1)×(5/4) = 5/1] por uma coma sintônica. Isto é, sendo
J 4 = (3/2)4 = 81/16 = 2807,82 centésimos,

a razão entre (J 4) e a 17ª mostra que entre eles há a diferença de 1 (uma) coma :
J 4/17ª = (81/16) / 5 = 81/80 = 21,51 centésimos.

Dividindo-se a 17ª em 4 partes iguais, tem-se,
Q = 51/4,
Qc = 701,96 - 5,3775,

isto é,
Qc = 696,58 centésimos.

Com isto, o intervalo de uma 17ª, cuja extensão é de 2786,31 centésimos, compreenderá quatro quintas mesotônicas, levando-se em conta que 2786,31 = 4×696,58 c.



17.2.2   O Tom

O chamado tom mesotônico -- representado por T -- é obtido pelo deslocamento de duas quintas mesotônicas (Q) para cima, e de uma oitava para baixo. Ao final da contas, o valor de T é a média (geométrica no caso das razões; e aritmética no caso dos centésimos) entre o uníssono e a terça maior.

A denominação mesotônica decorre da operação com a qual se obtém a média entre os graus primeiro e terceiro. Em termos de razões, tem-se:
T = (1/1 × 5/4)1/2 = (51/2) / 2
o que, em centésimos, representa
Tc = 1 segunda maior = 193,16 centésimos.
Observa-se assim que a terça maior mesotônica, que é justa, compreenderá duas segundas maiores iguais (*), diferentemente da escala justa, onde a terça maior abriga duas segundas maiores desiguais.

(*) Ocorre isto também nos demais sistemas de afinação, mas cada qual com a sua própria terça maior.


A propósito, vale notar que a obtenção da média geométrica entre a primeira e a terça maior (o valor 51/2/2), que se atribui ao intervalo T, equivale à obtenção da média geométrica entre as segundas maiores grande e pequena -- ambas pertencentes à afinação justa -- quais sejam, os racionais 9:8 e 10:9, respectivamente. De fato,
Média geométrica [das segundas] = (9/8 × 10/9)1/2 = 51/2/2.

É notório que certas operações mesotônicas antecipam e estão dentro da mentalidade do temperamento, haja vista provocarem pequenas alterações nos intervalos para que eles caibam dentro da escala. Vê-se aqui a semente de um temperamento mais radical que viria mais tarde.



17.2.3   O semitom

O chamado semitom mesotônico é obtido pelo deslocamento de 3 oitavas (2:1) para cima e de 5 quintas (Q) para baixo.

Desta forma:
S = 23/Q5 = 8/(55/4);
Sc = 117,11 centésimos.

E assim, havendo-se obtido os intervalos S, T e Q, pode-se agora construir a escala (diatônica) mesotônica maior, conforme as demonstrações nos Autômatos 17.1 e 17.2.




17.3  Método mesotônico formal

Os passos do mesotônico formal, juntamente com as devidas contas da afinação mesotônica, encontram-se no Autômato 17.1. Em seguida, o Autômato 17.2 ilustra cada passo do método sob a representação angular.

Autômato 17.1 - Algoritmo mesotônico




O autômato sônico Ângulos Mesotônicos abaixo mostra a disposição angular de cada um dos graus da escala.

Autômato 17.2 - Ângulos mesotônicos




17.4  Comparação com a escala justa

A comparação entre os matizes (***) obtidos com o sistema mesotônico e os da escala diatônica maior justa evidencia a terça justa e a oitava (uníssono). Há ocorrência de batimento nos demais graus.

(***) Posição angular das alturas no sistema ROI (Capítulo 13).

Autômato 17.3 - Mesotônica versus Justa




17.5  Escala mesotônica cromática

Os graus da escala diatônica cromática podem ser subdivididos em pares de semitons. Entretanto, uma vez que S2 > T, isto é, (1,0692=1,144) > 1,118, um semitom será diferente do outro, de modo que um tom compreenderá um semitom menor (s = (57/4)/16) e um outro que será maior (S = (8/(55/4))). Desta forma,
T = s × S;
portanto,
s = T/S = [ (51/2)/2) / (8/ (55/4) ] = (57/4)/16 .

Ou seja, têm-se 7 quintas ascendentes e 4 oitavas descendentes, resultando em um intervalo (s) cuja largura é
sc = 76,05 centésimos;

e, conforme já calculado anteriormente, o valor do semitom grande (S) é
Sc = Tc - sc = 193,16 - 76,05 = 117,11 centésimos.

A ascensão de 12 quintas mesotônicas resulta numa escala de 12 semitons, de acordo com os padrões :

(1) s S S s S s S (entre a primeira e a quinta);

(2) s S S s S (entre a quinta e a oitava).


Isto é,

dó [s] dó# [S] ré [S] mib [s] mi [S] fá [s] fá# [S] sol [s] sol# [S] lá [S] sib [s] si [S] dó

Desta maneira, para se construir a escala mesotônica de quarto coma cromática, usam-se as seguintes fórmulas:
1
s;
T;
T*S;
T*T;
T*T*S;
T*T*T;
Q;
Q*s;
Q*T;
Q*T*S;
Q*T*T;
Q*T*T*S.

Autômato 17.4 - Mesotônica cromatica





17.6  A quinta do "lobo" mesotônica

Da mesma forma que no método pitagórico, o algoritmo cromático puro no sistema mesotônico consta de se colherem 12 quintas ascendentes (*), de modo que cada intervalo assim obtido seja dividido por 2 enquanto for necessário, isto é, enquanto a fração intervalar for maior do que 2, ela será sucessivamente dividida por 2 até que venha a ocupar uma posição na oitava compreendida entre (1:1) e (2:1).

A diferença é que a quinta mesotônica vale 51/4, isto é, 696,68 centésimos, e, portanto, 5,38 centésimos abaixo da quinta justa 3:2. Isto significa o seguinte: enquanto 12 quintas justas fazem sobrar uma coma pitagórica (524288:531441) com relação às sete oitavas, 12 quintas mesotônicas não chegam a atingir as sete oitavas -- ficará faltando uma diesis (128:125), conforme a equação abaixo:
(51/4)12 / (2/1)7 = 125 / 128.
Portanto, a 12ª quinta colhida sofrerá um ajuste de uma diesis (41,06 centésimos) para cima a fim de coincidir com o primeiro grau da escala, conforme o Autômato 17.6. A quinta do lobo valerá então 696,68 + 41,06 = 737,74 centésimos (*).

São os seguintes os 12 intervalos reduzidos à mesma oitava, na ordem em que aparecem com a sequência de quintas mesotônicas:
m0 = dó = (51/4)0;
m1 = sol = (51/4)1;
m2 = ré = (51/4)2;
m3 = lá = (51/4)3;
m4 = mi = (51/4)4;
m5 = si = (51/4)5;
m6 = fá# = (51/4)6;
m7 = dó# = (51/4)7;
m8 = sol# = (51/4)8;
m9 = mib = (51/4)9;
m10 = sib = (51/4)10;
m11 = fá = (51/4)11;
m12 = dó = (51/4)12;


(*) "É melhor que o lobo fique lá no mato com o seu uivo horroroso, e não venha aqui perturbar a nossa harmonia musical (do latim, harmonicas concordantias)". Palavras atribuídas ao compositor alemão Michael Praetorius (1571-1621). [Helmholtz, p.321] .

Autômato 17.5 - Quinta do lobo mesotônica


17.6.1  Os dois grupos de tonalidades mesotônicas maiores

Conforme se verifica no Autômato 17.5 acima, das doze tonalidades mesotônicas maiores, há seis em que não ocorre a quinta do lobo, enquanto que, nas seis tonalidades maiores restantes, tal quinta sempre ocorre. Os Autômatos 17.6 e 17.7 abaixo mostram os padrões intervalares nessas duas categorias de tonalidades mesotônicas maiores. O mesmo ocorre com as doze tonalidades menores, isto é, seis delas contêm a lobo, enquanto as outras seis não a contêm.

Autômato 17.6 - Seis tonalidades mesotônicas (maiores) superiores. (A quinta do lobo se indica por
um arco que liga as notas dó e fá.)


As seis tonalidades do grupo mostrado no Autômato 17.6 -- quais sejam, sol, ré, lá, mi, si e fá# -- têm, todas elas, o mesmo padrão intervalar. É neste grupo que se encontram as melhores tonalidades da afinação mesotônica, justamente porque não figura em nenhuma delas a quinta do lobo. (A quinta do lobo se indica por um arco que liga as notas dó e fá da afinação mesotônica.)

O afastamento em centésimos entre os graus de cada uma destas seis tonalidades e os respectivos graus da escala diatônica maior justa encontram-se impressos na parte superior do autômato.

Autômato 17.7 - Seis tonalidades mesotônicas (maiores) inferiores. (A quinta do lobo se indica por
um arco que liga as notas dó e fá.)


Já as seis tonalidades maiores do grupo mostrado no Autômato 17.7 -- quais sejam, réb, láb, mib, sib, fá e dó -- têm padrões intervalares diferentes entre si. É neste grupo que se encontram as piores tonalidades da afinação mesotônica, justamente porque em todas elas figura a quinta do lobo. Destas seis, podem-se aproveitar talvez as tonalidades réb e dó, uma vez que em apenas um dos graus ocorre uma discrepância considerável (36 centésimos). Nas demais fica mais difícil, porque afastamentos importantes aparecem em vários graus, sendo que a tonalidade de fá maior apresenta nada menos do que cinco afastamentos consideráveis (30, 41, 36, 46 e 36 centésimos, nos graus 2, 3, 5, 6 e 7), o que a torna demasiado dissonante e imprópria, do ponto de vista da precisão musical.

Do mesmo modo, o afastamento em centésimos entre os graus de cada uma destas seis tonalidades e os respectivos graus da escala diatônica maior justa encontram-se impressos na parte superior do autômato.


17.6.1.1  Exemplo com as tonalidades maiores

Considere-se a peça musical "Invenção a duas vozes nº 14", de J. S. Bach, BWV 785, (*), a qual foi escrita entre os anos 1720 e 1723 na tonalidade Sib maior, conforme o áudio abaixo:

BWV 785 [em Sib maior; afinação temperada]:  


Tal peça foi aqui codificada nas doze tonalidades maiores da afinação mesotônica, de tal modo que há dois grupos de seis tonalidades. O primeiro contém as seis tonalidades da primeira categoria, isto é, aquelas que estão livres da quinta do lobo. O segundo corresponde àquelas seis tonalidades que contêm a lobo.

(*) Pode-se ver a primeira página da partitura no Capítulo 9.


Tonalidades isentas da quinta do lobo:

Sol Maior:
Ré Maior
Lá Maior
Mi Maior
Si Maior
Fá# Maior


Tonalidades que contêm a quinta do lobo:

Réb Maior
Láb Maior
Mib Maior
Sib Maior
Fá Maior
Dó Maior



17.6.2  Os dois grupos de tonalidades mesotônicas menores

Assim como ocorre com as tonalidade maiores, conforme se verifica no Autômato 17.5 acima, das doze tonalidades mesotônicas menores, há também seis em que não ocorre a quinta do lobo, enquanto que, nas seis tonalidades menores restantes, tal quinta sempre ocorre. Os Autômatos 17.8 e 17.9 abaixo mostram os padrões intervalares nessas duas categorias de tonalidades mesotônicas.

Autômato 17.8 - Seis tonalidades mesotônicas menores superiores. (A quinta do lobo se indica por
um arco que liga as notas dó e fá.)


As seis tonalidades menores do grupo mostrado no Autômato 17.8 -- quais sejam, mi, si, fá#, do#, sol# e ré# -- têm, todas elas, o mesmo padrão intervalar. É neste grupo que se encontram as melhores tonalidades menores da afinação mesotônica, justamente porque não figura em nenhuma delas a quinta do lobo.

O afastamento em centésimos entre os graus de cada uma destas seis tonalidades e os respectivos graus da escala diatônica menor justa encontram-se impressos na parte superior do autômato.

Autômato 17.9 - Seis tonalidades mesotônicas menores inferiores. (A quinta do lobo se indica por
um arco que liga as notas dó e fá.)


Já as seis tonalidades maiores do grupo mostrado no Autômato 17.9 -- quais sejam, sib, fá, dó, sol, ré e lá -- têm padrões intervalares diferentes entre si. É neste grupo que se encontram as piores tonalidades da afinação mesotônica, justamente porque em todas elas figura a quinta do lobo. Destas seis, talvez as tonalidades sib e lá possam ser aproveitadas, uma vez que em apenas um dos graus ocorre uma discrepância considerável (30 e 41 centésimos, respectivamente nos graus 2 e 6). Nas demais fica mais difícil, porque afastamentos importantes aparecem em vários graus, sendo que a tonalidade de dó menor apresenta nada menos do que cinco afastamentos consideráveis (46, 35, 41 e 52 centésimos) nos graus 3, 4, 6 e 7, o que a torna demasiado dissonante.

Do mesmo modo, o afastamento em centésimos entre os graus de cada uma destas seis tonalidades e os respectivos graus da escala diatônica menor justa encontram-se impressos na parte superior do autômato.





17.6.2.1  Exemplo com as tonalidades menores

Considere-se a obra musical "Invenção a duas vozes nº 4", de J. S. Bach, BWV 775 (*), a qual foi escrita -- entre os anos 1720 e 1723 -- na tonalidade de Ré menor, conforme o áudio abaixo:

BWV 775 [em Ré menor; afinação temperada]:  


Tal obra encontra-se aqui recodificada (*) para as doze tonalidades menores da afinação mesotônica. Primeiramente, para as seis tonalidades da primeira categoria, isto é, aquelas sem a quinta do lobo. Em seguida, para aquelas seis que contêm a lobo.

(*) Pode-se ver a primeira página da partitura no Capítulo 9.


Tonalidades isentas da quinta do lobo:

Mi menor:
Si menor
Fá# menor
Dó# menor
Sol# menor
Ré# menor


Tonalidades que contêm a quinta do lobo:

Sib menor
Fá menor
Dó menor
Sol menor
Ré menor
Lá menor



17.6.3  Considerações sobre a denominação "do lobo"

A qualificação lobo para a 12ª quinta mesotônica denota que a sua presença causará dissonâncias que deteriorarão algumas das 24 tonalidades. Em decorrência deste fato, a etapa subsequente na evolução histórica dos sistemas de afinação foi justamente a de se buscar minimizar a extensão da quinta do lobo mesotônica, distribuindo-se uma pequena parte sua por entre alguns dos outros intervalos, que seriam assim ligeiramente alterados. Foram criadas desta maneira as afinações refinadas (wohltemperierte), algumas das quais se descrevem no Capítulo 21.

Quando o leitor se depara pela primeira vez com semelhante termo emprestado da bioacústica, de imediato perguntar-se-á por qual razão se diz "do lobo"?

A resposta parece simples: a dissonância produzida em um órgão de tubos afinado segundo o sistema mesotônico -- que é um instrumento de sons poderosos, persistentes e espectralmente densos -- quando nele se tocam peças em diversas tonalidades, ouve-se em algumas delas algo semelhante ao uivar do lobo, especialmente em certas composições.

Entretanto, quando a peça é tocada em instrumentos diferentes do órgão, mas afinados mesotonicamente, a tal dissonância certamente não se parecerá com o uivar do lobo. Veja-se no exemplo da Seção 17.6.1.1 acima que a dissonância em algumas das tonalidades -- como em Sib Maior mesotônica, no segundo grupo -- estaria mais para "marreco" do que para "lobo".





 Referências

[1] LL. S. LLOYD, e H. BOYLE. Intervals, Scales and Temperaments. St. Martin's Press, New York, 1979.

[2] J. M. BARBOUR. Tuning and Temperament: a historical survey. Michigan State College Press, East Lansing, 1951.

[3] J. BACKUS. The Acoustical Foundations of Music. W. W. Norton & Company, New York, 1977.

[4] G. ZARLINO. Le Istitutioni Harmoniche . 1558.

[5] Vídeo. DULCIAN RANKETT 1 -- Gioseffo Zarlino. Published on Sep 2, 2012. Bicinia secondo, Chiesa San Michele Arcangelo, Pozzoveggiani - Salboro(PD) 2011 - Paolo Tognon dulciana tenore, Claudio Sartorato cervellato (rankett). (web)




Figura 17.1 - Gioseffo Zarlino (Fonte: [The Art of Counterpoint -- Part Three of Le Istitutioni harmoniche, 1558, Tradução Guy A. Marco; Claude V. Palisca, Nova Iorque: W. W. Norton, 1968].)


Figura 17.2 - Página do livro Le Istitutioni harmoniche de G. Zarlino, 1558. (Fonte: [The Art of Counterpoint -- Part Three of Le Istitutioni harmoniche, 1558, Tradução Guy A. Marco; Claude V. Palisca, Nova Iorque: W. W. Norton, 1968].)















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